里面一定包含了所有数字组合吗？优质

操作方法

• 01

  靠靠靠，怎么全是诸如我不知道，我感觉有道理这种毫无水平的回答，我来电硬的：

  无理

  无穷无尽且永不重复——换句话说，π是个“无限不循环小数”，也就是“无理数”。

  但是，一个无理数并不一定能包含“每种可能的数字组合”。

  举个简单的反例：0.909009000900009000009……

  （除非特别声明，所有数字都是10进制的，下同。）

  这个数的特点是，两个“9”之间的距离会越来越长，每次多一个0，直到无限。它是无穷无尽的，也是不循环的，因此是无理的；但别说“每种可能的数字组合”了，它连0到9这十个数字都凑不齐呢！

  合取

  包含所有数字组合的数，叫做“合取数”。无理数并不都是合取数。

  一个典型的合取数是这样的：0.10200300040000500000600……000110000000000012000……

  在越来越长的0串中间，夹杂着从1开始的所有自然数，直到无限。既然包含了所有自然数，当然也就包含了所有的数字组合。

  正规

  但是写这么多0，多费纸费电啊。如果把这些零去掉呢？

  得到的数就是这样：0.123456789101112131415……

  这个数不但是合取的，还是“正规”的——从0到9的每一个数字，出现的频率都趋向于一样的值。

  随机

  如果我们再进一步，连生成规律都不要了，而是用某种真随机生成器（比如哥本哈根解释下的量子随机性）造出一个每位都随机的数，那么它当然就是“随机”的了——不光每一个数字的长期频率趋于一致，任何位置出现的概率也都一样。

  那pi是什么？

  非常遗憾的是，目前为止我们只证明了pi是个无理数。pi是合取（包含所有可能）的吗？是正规（所有数字出现频率趋于一致）的吗？是随机（每一位上的数字都随机）的吗？

  答案是：全都不知道。

  我们很容易构造出一个合取数或者正规数，甚至能证明“几乎所有”实数都是合取而且正规的，但是随便拿一个具体的数字，要想判断它是否合取、是否正规，却极其困难。我们甚至都不知道pi里面是不是有无限个数字2。至于随机？别跟我提什么随机。

  合取数和正规数有另一个有趣的性质：和进制有关。有个常数叫斯通汉姆数（Stoneham number），在二进制、四进制、八进制……下已经证明全都是正规的了，可是在六进制下却能证明它不是正规的。如果一个数在任何进制下都正规，可以称之为“绝对正规”。不幸的是，pi在任何进制下都没能证明正规——离得最近的是2，有论文证明，假如某个猜想是对的，那么pi就是二进制正规；但那个猜想本身也只是“很可能正确”，还没有得到严格证明。

  作者：Ent

  链接：http://www.guokr.com/article/439682/

  来源：果壳

• 02

  虽然圆周率π是一个不能用分数表示的无理数，但我们目前还无法确定它的小数位中是否包含了所有的数字组合。

  既然π是无理数，那么，它就是一种无限不循环的小数，它有可能包含所有的数字组合，有可能也不会。例如，0.15115111511115111115…是一个无限不循环的无理数，但它的小数位中只有1和5，所以不可能包含所有的数字组合。只有在圆周率的小数位是完全随机的情况下，它才会包含所有的数字组合，但目前无法证明出来。

  虽然圆周率的小数位不一定包含任意长度的数字组合，但它包含了一些较短的数字组合。例如，用于表达月/日需要4位数（如07/30），一年最多有366天，所以总共有366种日期组合。通过统计表明，表达月/日的所有数字组合均出现在圆周率的小数位中，而且是在前61万位。如果大家有兴趣的话，可以去查一下自己的生日出现在圆周率的小数位中的第几位。下图是π的前一万位，看看这里面是否包含大家的生日：

• 03

  包含了所有组合的数，称为合取数，如:0.12345678910111213141516……这个无限不循环小数，就包含了所有有限数字的组合，你可很容易在这个数中找到你的身份证号码。但π是合取数吗？目前我们认为可能是，但还没有证明。

  哥德尔证明了任何一个形式系统，只要包括了简单的初等数论描述，而且是自洽的，它必定包含某些系统内所允许的方法既不能证明真也不能证伪的命题。

  第一不完备性定理:任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明为真，也不能被证明为否。

  π是否是合取数(包含所有数字组合)，这个命题，就是在数学逻辑系统中，既不能证实，也不能证伪的命题。

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